离散型
1. 0-1 分布
\[
P\{X=1\}=p, \quad P\{X=0\}=1-p
\]
\[
E(X)=p, \quad D(X)=p-p^2
\]
2. 二项分布
\[
P\{X=k\}=C_n^k p^k (1-p)^{n-k}
\]
\[
E(X)=np, \quad D(X)=np(1-p)
\]
3. 泊松分布
\[
P\{X=k\}=\frac {\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}
\]
\[
E(X)=\lambda, \quad D(X)=\lambda
\]
4. 几何分布
\[
P\{X=k\}=C_n^k\left( \frac{M}{N} \right)^k\left( 1-\frac{M}{N} \right)^{n-k}
\]
\[
E(X)=\frac{1}{p}, \quad D(X)=\frac{1-p}{p^2}
\]
5. 超几何分布
\[
P\{X=k\}=\frac{C_M^k C_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}
\]
6. 负二项分布
\[
P\{X=k\}=C_{k-1}^{r-1}p^r(1-p)^{k-r}
\]
连续型
1. 均匀分布
\[
f(x)=
\begin{cases}
\frac{1}{b-a}, & a<x<b \\
0, & \text{其他}
\end{cases}
\]
\[
F(x)=
\begin{cases}
0, & x<a \\
\frac{x-a}{b-a}, & a\le x< b \\
1, & b\le x
\end{cases}
\]
\[
E(X)=\frac{a+b}{2}, \quad D(X)=\frac {(b-a)^2} {12}
\]
2. 指数分布
\[
f(x)=
\begin{cases}
\lambda e^{-\lambda x}, & x>0 \\
0, & x\le 0
\end{cases}
\]
\[
F(x)=
\begin{cases}
1-e^{-\lambda x}, & x>0 \\
0, & x\le 0
\end{cases}
\]
\[
E(X)=\frac{1}{\lambda}, \quad D(X)=\frac{1}{\lambda^2}
\]
无记忆性：
$$
P(X>s+t \mid X>s)=P(X>t)
$$
3. 正态分布
\[
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}, \quad -\infty<x<+\infty
\]
$$
F(x)=\int^x_{-\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}}dt
$$
若 \(X \sim N(\mu,\sigma^2)\)，则 \(Z=\frac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)\)。
[Image of Normal distribution probability density function]
二维正态分布
\[
f(x,y)=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}} \exp\left\{-\frac{1}{2(1-\rho^2)} \left[\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-2\rho \frac{(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2} +\frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}\right]\right\}
\]
正态变量之和分布
设 \(X_k \sim N(\mu_k,\sigma_k^2)\)，且 \(X_1, \cdots, X_n\) 相互独立，则：
$$
X_1+\cdots+X_n \sim N\left(\sum \mu_k, \sum \sigma_k^2\right)
$$
4. 伽马分布
$$
f(x)=
\begin{cases}
\frac{\lambda^p}{\Gamma(p)}x^{p-1}e^{-\lambda x}, & x>0 \
0, & x\le 0
\end{cases}
$$
其中 \(\lambda>0, p>0\) 为参数，伽马函数为 \(\Gamma(p)=\int^{+\infty}_0 x^{p-1}e^{-x}dx\)。
则称 \(X\) 服从伽马分布，记为 \(X \sim \Gamma(p,\lambda)\)。
注：\(\Gamma(1,\lambda)\) 是参数为 \(1/\lambda\) 的指数分布。
性质：
1. \(\Gamma(p+1)=p\Gamma(p)\)
2. 对于正整数 \(n\)，\(\Gamma(n+1)=n!\)
3. \(\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}\)
4. \(\lambda=\frac{1}{2}, \alpha=\frac{n}{2}\) 的 \(\Gamma\) 分布称为自由度为 \(n\) 的 \(\chi^2\) 分布。