随机试验
特点
- 可在相同条件下重复进行
- 每次试验可能的结果不唯一，且已知所有可能的结果
- 一次试验只有一个结果，试验前无法确定结果
样本空间
随机试验中，每个可能结果称为该试验的一个==样本点（基本事件）==。样本空间即为所有样本点组成的集合，记为\(S\).
样本空间分为 - 离散样本空间：样本点为有限多个或可列多个 - 无穷样本空间：样本点在区间或区域内取值
随机事件
在一定条件下可能发生也可能不发生的事情，称为随机事件，简称事件 - 基本事件：有一个样本点组成的单点集 - 复合事件：由两或两个以上的基本事件复合而成的事件 - 必然事件：样本空间\(S\)是自身的子集，在每次试验中必定发生的 - 不可能事件：空集\(\varnothing\)，不含任何样本点，每次试验中都不发生
事件间的关系与事件的运算
- 若事件\(A\)发生必然导致事件\(B\)发生，则\(B\)包含\(A\),记为，\(A\subset B\)
- 若\(A\subset B,A\supset B\),则\(A,B\)相等，记为\(A=B\)
事件的并
事件\(C\)发生，则事件\(A\)与事件\(B\)至少有一个发生，则称事件\(C\)是\(A\)与\(B\)的并（或和）事件，记为\(C=A\cup B\). \(C=\{x|x \in A 或x\in B\}\) 可列个事件\(A_1,A_2,\dots,\)的并事件记为\(\cup^\infty_{i=1}A_i\)
事件的交
多个事件同时发生，\({AB},A\cap B=\{x|x\in A或x\in B\}\) 可列个事件\(A_1,A_2,\dots\)的交为\(\cap^\infty_{k=1}A_k\)
事件的差
前者发生，后者不发生$\(A-B=A\cap\bar B=A-AB\)$
互斥事件
若\(AB=\varnothing\),即二者不能同时发生，则称而二者是互斥的
对立事件（逆事件）
若\(A\cup B=S,AB=\varnothing\),二者为对立事件
运算律
交换律：....... 结合律：...... 分配律：\(A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)\) \(A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap c)\) ==德摩根律：== $$\overline {A\cup B}=\overline A\cap \overline B $$ $\(\overline{A\cap B}=\overline A\cup \overline B\)$
频率与概率
频率
一试验在相同条件下重复进行\(n\)次，如果事件\(A\)发生了\(n_A\)次，则比值\(\frac {n_A} n\)称为事件\(A\)发生的频率，记为\(f_n(A)\).
基本性质
- \(f(A)>0\);(非负性)
- \(f_n(S)=1\);(规范性)
- 可加性：对于互斥事件，有\(f_n(A\cup B)=f_n(A)+f_n(B)\) \(f_n(A_1\cup A_2\cup\dots \cup A_k)=\sum_{i=1}^k A_i\)
特性
- 波动性：对于同一试验，不同的试验次数\(n\),其频率不同，当\(n\)较小时，\(f_n(A)\)随机波动的幅度越大
- 稳定性（统计规律性）：随\(n\)增大，事件\(A\)的频率总在某一定值\(P(A)\)的附近摆动二逐渐稳定于这个值，该值称为频率的==稳定值==
概率
统计定义
频率的稳定值\(P(A)\),称为事件\(A\)的概率
公理化定义
满足 1. \(P(A)\ge0\);(非负性) 2. \(P(S)=1\);(规范性) 3. 可列可加性：对于两两互斥事件，有 \(P(\cup^\infty_{i=1}A_i)=\sum_{i=1}^\infty P(A_i)\)
==性质==
- \(P(\bar A)=1-P(A)\)
- \(P(\varnothing)=0\)
- 有限可加性（\(A_i\)互不相容）：$\(P(\cup^\infty_{i=1}A_i)=\sum^\infty_{i=1}P(A_i)\)$
- \(P(A)\le1\)
- 若\(A\subset B\),则\(P(B-A)=P(B)-P(A)\)
-
\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)\) 加奇减偶公式：
\[P(\cup^n_{i=1}A_i)=\sum^n_{i=1}P(A_i)-\sum_{1 \le i<j\le n}P(A_iA_j)+\sum_{1\le i<j<k\le n}P(A_iA_jA_k)+\dots+(-1)^{n-1}P(A_1A_2\dots A_n)\]
古典概型
特点
- 样本空间中只有有限个样本点
- 每个基本事件是等可能的
计算公式： $\(P(e_i)=\frac 1 n\)$ \(A=\{e_{i1},\dots,e_{ik}\}\),称\(A\)中的样本点为\(A\)的==有利场合==， $\(P(A)= \frac k n\)$
加法原理
完成一件工作，有\(m\)种方法，第\(i\)类方法有\(n_i\)种方法，完成工作共有\(N=\sum_{i=1}^m n_i\)种方法
乘法原理
一工作有\(m\)个步骤，第\(i\)类方法有\(n_i\)种方法，完成工作共有\(N=\prod_{i=1}^m n_i\)种方法
几何概型
特点
- 样本空间是一个大小可度量的集合区域，对\(S\)的度量记为\(m(S)\)
- 向区域\(S\)内任意投掷，投掷落点在区域内任何一个点处都是等可能的
对于事件\(A\),\(P(A)=\frac {m(A)} {m(S)}\)
条件概率
在\(A\)发生的情况下，\(B\)发生的概率，记为\(P(B|A)\) $\(P(B|A)=\frac {P(AB)} {P(A)}\)$
特点
- 非负性:\(P(B|A)>0\)
- 规范性:\(P(S|A)=1\)
- 可列可加性：\(B_i\)两两互不相容，则$\(P(\cup^\infty_{i=1}B_i|A)=\sum^\infty_{i=1}P(B_i|A)\)$
性质
- \(P(\varnothing|A)=0\)
- \(P(\overline B|A)=1-P(B|A)\)
- 加奇减偶公式 $\(P(B\cup C|A)=P(B|A)+P(C|A)-P(BC|A)\)$
乘法定理
\(P(AB)=P(A)P(B|A)\) \(P(A_1A_2\dots A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)\dots P(A_n|A_1A_2\dots A_{n-1})\)
全概率公式和贝叶斯公式
样本空间的划分
若\(B_1,B_2,\dots，B_n\)一组事件满足： 1. \(B_iB_j=\varnothing,i\ne j,i,j=1,2,\dots,n\) 2. \(\cup_{i=1}^nB_i=S\) 则称这组事件为样本空间\(S\)的一个划分
每次试验中，\(B_1,B_2,\dots,B_n\)中必有且只有一个事件发生
全概率公式
定义
设\(B_1,B_2,\dots,B_n\)为样本空间\(S\)的一个划分，对于任意一个事件\(A\)有$$ P(A)=\sum_{i=1}^nP(A|B_i)P(B_i)$$
贝叶斯公式
定义
划分……，则$\(P(B_i|A)=\frac {P(B_i)P(A|B_i)} {\sum_{j=1}^nP(B_j)P(A|B_j)}\)$
[!note] 全概率公式是由因推果，贝叶斯公式是由果推因
对立性
定义
设\(A,B\)两事件，如果满足等式\(P(AB)=P(A)P(B)\),则称两事件相互独立
- 必然事件\(S\)与不可能事件\(\varnothing\)与任何事件都独立
- \(A,B\)相互独立，且\(P(B)>0\),则\(P(A|B)=P(A)\),
- ………………，\(A与\overline B,\overline A与B\)也相互独立
区分两两独立（任意两个事件独立，但两个以上事件间不一定独立）与相互独立（任意个事件间是独立的）
推论
- 如果事件间相互独立，那么其中任意个事件也相互独立
- …………………………，将其中任意个事件换成其逆事件后也相互独立
- \(P(A)>0,P(B)>0\),则\(A,B\)相互独立与\(A,B\)互不相容不能同时成立·
独立性试验（伯努利试验）
定义
每次试验的结果只有两种，这种概型称为伯努利试验。将其独立重复进行n次，称为n重伯努利试验 $\(P(X=k)=C^k_np^k(1-p)^{n-k}\)$