特征函数

定义

如果 $\xi$ 与 $\eta$ 都是概率空间上的实值随机变量，则称 $\zeta=\xi+i\eta$ 为复随机变量。则 $E(\zeta)=E(\xi)+iE(\eta)$，$E(\zeta_1\zeta_2\dots\zeta_n)=E(\zeta_1)E(\zeta_2)\dots E(\zeta_n)$。

若随机变量 $\xi$ 的分布函数为 $F_{\xi}(x)$，则称 $$ f_{\xi}(t)=E(e^{it\xi})=\int_{-\infty}^{\infty}e^{itx}dF_{\xi}(x) $$ 为 $\xi$ 的特征函数，对一切实数 $t$ 都有意义。

对于 离散型 随机变量，则其特征函数为： $$ f(t)=\sum_{j=1}^{\infty}e^{itx_j}p_j $$
对于 连续型 随机变量，则其特征函数为： $$ f(t)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{itx}p(x)dx $$

常用特征函数

单点分布 $I(x-c)$ $$ f(t)=e^{ict} $$
二项分布 $b(n,p)$ $$ f(t)=(pe^{it}+1-p)^n $$
泊松分布 $\pi(\lambda)$ $$ f(t)=e^{\lambda(e^{it}-1)} $$
$\Gamma$ 分布 $G(\lambda,r)$ $$ f(t)=\int^{\infty}_{0}e^{itx}\frac{\lambda^r}{\Gamma(r)}x^{r-1}e^{-\lambda x}dx=\left( 1-\frac{it}{\lambda} \right)^{-r} $$
正态分布
- $N(0,1)$： $$ f(t)=e^{-t^2/2} $$
- $N(\mu,\sigma^2)$： $$ f(t)=e^{i\mu t-\frac{1}{2} \sigma^2t^2} $$

性质

$f(0)=1$
$|f(x)|\le 1$
$f(-t)=\overline{f(t)}$
特征函数在 $(-\infty,\infty)$ 上一致连续
$\forall$ 正整数 $n$，实数 $t_1,\cdots,t_n$ 及复数 $\lambda_1,\dots ,\lambda_n$ 成立： $$ \sum_{k=1}^n\sum_{j=1}^nf(t_k-t_j)\lambda_k \bar\lambda_j\ge0 $$
两个相互独立的随机变量之和的特征函数等于他们的特征函数之积
$f^{(k)}(0)=i^kE(\xi^k)$
设 $\eta=a\xi+b$，这里 $a,b$ 为常数，则： $$ f_\eta(t)=e^{ibt}f_\xi(at) $$

逆转公式与唯一性定理

逆公式

设分布函数 $F(x)$ 的特征函数为 $f(t)$，又 $x_1,x_2$ 是 $F(x)$ 的连续点，则： $$ F(x_2)-F(x_1)=\lim_{T \to \infty} \frac{1}{2\pi} \int_{-T}^{T} \frac{e^{itx_2}-e^{itx_1}}{it} f(t)\mathrm{d}t \quad (5.21) $$

唯一性定理

分布函数由其特征函数唯一决定。

分布函数的再生性

$x_1$ 服从 $b(m,p)$，$x_2$ 服从 $b(n,p)$ 二者相互独立，$x_1+x_2$ 服从 $b(m+n,p)$
泊松分布 $\pi(\lambda_1,\lambda_2)$：$\pi(\lambda_1+\lambda_2)$
正态分布 $N(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)$
伽马分布 $G(\lambda,r_1+r_2)$